Рассказ о бесконечности

Источник: «Техника – молодёжи», №6, 1986 год.

МИР ЭЛЕКТРОНА

Быть может, эти электроны –
Миры, где пять материков,
Искусства, знанья, войны, троны
И память сорока веков!

Ещё, быть может, каждый атом –
Вселенная, где сто планет;
Там всё, что здесь,
В объёме сжатом.
Но также то, чего здесь нет.

Их меры малы, но все та же
Их бесконечность, как и здесь;
Там скорбь и страсть,
Как здесь, и даже
Там та же мировая спесь.

Их мудрецы, свой мир бескрайний
Поставив центром бытия.
Спешат проникнуть в искры тайны
И умствуют, как ныне я;

А в миг, когда из разрушенья
Творятся токи новых сил,
Кричат, в мечтах самовнушенья.
Что бог свой светоч загасил!

Валерий БРЮСОВ, 1922 г

...В этих прекрасных строках мысль, поэтически выраженная, передаёт ощущения человека, задумавшегося о непостижимой безграничности материи. Они написаны в год, когда создатель планетарной модели атома – Нильс Бор – был удостоен Нобелевской премии. И сегодня, более полувека спустя, идея бесконечности продолжает волновать умы не только физиков и поэтов, но и писателей и публицистов. Ниже мы предлагаем вниманию читателей статью – своего рода вариацию на тему о бесконечности, написанную журналистом Вячеславом Жвирблисом. Её сопровождают комментарии учёных – математика и физика, написанные по просьбе журнала.

Читателям, которые хотят поглубже познакомиться с затронутой темой, мы можем порекомендовать статьи академика АН ЭССР Густава Наана «К бесконечности и дальше» («ТМ» М 4 за 1967 год), инженера-физика Юрия Филатова «Как частица миром стала» («ТМ» № 6 за 1973 год), кандидата физико-математических наук Анатолия Шибанова «Точь-в-точь?» («ТМ» №1 за 1976 год), кандидата исторических наук Валерия Скурлатова «Открылись бездны – звёзд полны?..» («ТМ» № 2 за 1975 год).

Профессор Анатолий Фоменко известен не только как учёный, но и как автор многочисленных своеобразных графических работ, в которых сделана попытка наглядно представить абстрактные математические понятия. Об этой стороне его творческой деятельности наш журнал уже писал. Сегодня знакомим читателей с двумя другими работами учёного. Вот что гласит подпись под этим рисунком: «Одна из реализаций идей математической бесконечности. Загадочный мир».

РАССКАЗ О БЕСКОНЕЧНОСТИ,

сочинённый ночью на берегу тёплого моря

(В.Жвирблис)

Бездонный ночной небосвод и неумолчный шум прибоя обычно помимо воли заставляют задуматься о бесконечности. Бесконечности пространства и бесконечности времени. Бесконечность, впрочем, не столько привлекает, сколько пугает. Право, мороз подирает по коже, когда пытаешься её представить наглядно. И видимо, поэтому человек, начиная с древнейших времён и кончая сегодняшним днём, неустанно ищет и мысленно создаёт вокруг себя уютный конечный мир.

Поначалу, дабы оградить мир, человек помещал плоскую Землю на трёх китах или на трёх слонах и придумал легенду о сотворении мира и конце света. Но так же, как в старину, никто не мог дать ответа на вопрос о том, где плавают киты или на чем стоят слоны, что было до сотворения мира и что будет после конца света, так и сейчас, несмотря на существование многих изощрённых теорий мироздания, физический смысл простого, казалось бы, понятия «бесконечность» продолжает оставаться весьма туманным, и никто, кажется, ещё не отыскал способа представить бесконечность по настоящему наглядно.

Хотя математики такие же люди, как и все, они давно храбро бродят по необозримым просторам бесконечности. Как им это удаётся? Что нужно, скажем, для того, чтобы абсолютно точно записать число е, обозначающее основание натуральных логарифмов?

На этот вопрос может быть два ответа. Ответ первый: бесконечно большой лист бумаги и бесконечно большое время, ибо сколь мелко и быстро мы бы ни писали цифры, заполнять ими бесконечно большую поверхность бесконечным рядом е = 2,71828... придётся бесконечно долго. В этом случае говорят о потенциальной бесконечности, то есть бесконечности, которая существует только потенциально, так сказать, в принципе, но реально никогда не может завершиться.

Ответ второй: любой клочок бумаги и несколько секунд, за которые можно набросать формулу, позволяющую вычислить число е с любой наперёд заданной точностью. Для этого в формулу (её можно найти в справочнике) нужно лишь по очереди подставлять возрастающие до бесконечности числа натурального ряда. Такую операцию принято обозначать сочетанием символов n→ ∞ ; в этом случае бесконечность называют актуальной, то есть как бы раз и навсегда реально завершённой, реально существующей, хотя и не равной ничему определённому.

Хитрость последнего приёма заключается в том, что вся бесконечность упрятывается в короткое сочетание символов, в котором время участвует в замаскированном виде: ведь n надо все время увеличивать! А вот физики, имеющие дело с реальным миром, никак не могут последовать примеру математиков, которые поступают по-своему логично, вовсе игнорируя время.

В физических формулах бесконечность возникает то и дело, и, чтобы от неё избавиться (ведь в реальном мире все величины должны быть конечными), физики в какой-то мере лукавят, молчаливо подменяя бесконечно большие величины очень большими, но всё же конечными, а бесконечно малые величины просто игнорируют. Как говорится, если нет бесконечности, то нет и связанных с нею проблем.

Такое «округление» бесконечностей правомерно, когда речь идёт об истолковании экспериментальных результатов (ведь точность измерений всегда конечна), но совершенно недопустимо в «чистой» теории. Например, сплошь и рядом приходится сталкиваться с совершенно бессмысленными, по сути дела, выражениями типа «бесконечно большая (малая) масса» и «бесконечно малая (большая) скорость». Ведь это означает, что масса всё время возрастает или убывает, что скорость всё время уменьшается или увеличивается, то есть, что масса и энергия неизвестно откуда берутся или неизвестно куда деваются. Можем ли мы представить себе ракету, скорость которой непрерывно растёт, но двигатели которой не расходуют никакого горючего?

Значит, здесь в действительности имеются в виду не истинно бесконечно большие или бесконечно малые величины, а величины конечные – либо невообразимо большие, либо пренебрежимо малые. Иначе как могли бы физики описывать ситуации, которые никогда не реализуются?

Само слово «бесконечность» говорит, казалось бы, о том, что это нечто, не имеющее ни начала, ни конца. Бесконечная линия, бесконечная плоскость, бесконечное пространство... Это – наглядный образ потенциальной бесконечности. А может ли считаться бесконечным конечный отрезок? Скажем, длиной в один сантиметр?

С точки зрения чистой математики, актуально бесконечно большим может считаться и отрезок длиной в один сантиметр, и отрезок, равный диаметру атома водорода или электрона. И вообще любой, сколь угодно малый, но конечный отрезок – все дело лишь в том, чем его измерять. Ведь если единица измерения бесконечно мала (вернее, стремится к нулю), то бесконечно велик (точнее, стремится к бесконечности) и размер любого измеренного с её помощью отрезка.

Другими словами, бесконечно большая величина вовсе не обязана быть невообразимо большой, она может иметь любые конечные (и даже крайне малые с нашей точки зрения) размеры, если для её измерения используется величина бесконечно малая, то есть непрерывно уменьшающаяся во времени; но та же конечная величина может считаться и бесконечно малой, если она измеряется с помощью бесконечно возрастающей во времени величины.

То есть, по сути, у реальной физической бесконечности должны быть две неразрывно связанные друг с другом области – область бесконечно больших и область бесконечно малых, – и поэтому её невозможно подразделять на потенциальную и актуальную. Такая бесконечность должна просто существовать.

В самом деле, мы знаем, что вещество состоит из молекул, молекулы построены из атомов, атомы – из электронов и ядер, ядра – из протонов н нейтронов. А из чего построены сами электроны, протоны и нейтроны? Из кварков? А те из чего построены? То есть как бы глубоко мы ни проникали в структуру частиц материи, мы сможем до бесконечности задавать один и тот же сакраментальный вопрос: из чего?

Оказывается, киты и слоны водятся не только в области бесконечно большого, но и в области бесконечно малого... Всем прекрасно известно, что в космических просторах действуют вовсе не те физические законы, что в микромире. Там – теория относительности, специальная и общая; тут – квантовая механика. И хотя обе теории объединяет релятивистская квантовая механика, легче от этого не становится: все эти неклассические теории верно отражают результаты реальных экспериментов, но наглядно представить себе релятивистские и квантовые эффекты невозможно, потому что мысленно можно представить лишь явления, происходящие в ограниченном житейском мире умеренных размеров и скоростей, описываемом с точки зрения так называемого «здравого смысла» (читай – физического смысла) классической механики Ньютона. А коли так, то разве можно пытаться представить себе наглядно реальную физическую бесконечность?

Релятивистская квантовая отличается от классической лишь тем, что содержит два дополнительных постулата – о конечности и инвариантности скорости света и конечности кванта действия – постоянной Планка. Чем больше скорость тела и чем меньше его масса, тем необычнее становится его поведение. И наоборот: чем больше масса тела и чем меньше его скорость, тем точнее его поведение описывается классической механикой и тем легче мысленно его себе представить. Точно так же классическая механика тем точнее описывала бы поведение физических объектов, чем больше была бы скорость света и чем меньше – постоянная Планка.

Так что же тогда описывает классическая механика? Получается, что она вроде бы не описывает ничего: она годится лишь для описания либо реально не существующих объектов (с бесконечно большой массой и бесконечно малой скоростью), находящихся в реальном мире, либо реально существующих объектов, находящихся в реально не существующем мире (с бесконечно малой постоянной Планка и бесконечно большой скоростью света)...

Не правда ли, странный вывод? Однако его можно истолковать н так: классическая механика даёт нам чисто умозрительную модель реального мира, как бы увиденного наблюдателем «извне», из бесконечности. Естественно, что свойства такой модели невозможно изучать экспериментально, поскольку наблюдатель не может ставить реальные опыты над воображаемыми или бесконечно удалёнными от него объектами. А вот неклассические теории описывают тот же самый мир, но только как бы «изнутри», с точки зрения реального наблюдателя, составляющего единое целое с изучаемой им системой и способного на неё активно воздействовать; в этом случае теория и эксперимент дают строго согласующиеся между собой результаты, но только эти результаты уже невозможно представить себе умозрительно, в точном соответствии со «здравым смыслом».

Иначе говоря, взгляд на мир «изнутри» даёт наблюдателю лишь относительно истинные сведения о наблюдаемом объекте, неизбежно искажённые тем, что наблюдатель и объект составляют единую физическую систему и влияют друг на друга. В отличие от этого взгляд на мир «извне», из бесконечности, дал бы наблюдателю абсолютно истинные сведения об объекте. Но ведь чтобы удалиться в бесконечность, необходимо бесконечно большое время... Не в этом ли заключается конкретный физический смысл философских соображений о бесконечности процесса познания абсолютной истины?

Мир един – различны лишь точки зрения на него. Но если абсолютно истинную картину мира невозможно наблюдать принципиально, то, может быть, её можно вычислить? Например, найдя преобразования координат, подобные галилеевым или лоренцовым, которые позволили бы инвариантно переходить с точки зрения на мир «извне» на точку зрения на мир «изнутри» и наоборот. Не окажется ли тогда, что странные, на наш житейский взгляд, постулаты и выводы неклассических теорий – лишь неявный и не самый лучший способ избавиться от не менее странных, на взгляд современного физика-теоретика, бесконечностей классической модели мира?

Люди чаще всего задумываются о бесконечности, глядя в безлунное звёздное небо. Но бесконечность неба – лишь, так сказать, половина настоящей физической бесконечности, простирающейся не только в области бесконечно больших, но и в область бесконечно малых величин. И даже не половина, а её бесконечно малая часть.

С образом настоящей физической бесконечности людям приходилось сталкиваться не на просторе, а в уютной домашней обстановке, при модном в старину гадании на зеркалах. Делалось это так: в абсолютной тишине и полном одиночестве девица садилась за стол, поставив перед собой одно зеркало, а позади – другое; по бокам она ставила зажжённые свечи, освещавшие лицо мерцающим светом. И потом пристально вглядывалась в своё до бесконечности повторяющееся отражение, задумав вопрос, на который хотела бы получить ответ. Вопрос, естественно, касался замужества...

Говорят, спустя некоторое время гадавшей начинало чудиться неизвестно что и, если она вовремя не набрасывала на одно из зеркал специально приготовленное на такой случай полотенце, то с перепугу падала в обморок.

Не смейтесь, попробуйте-ка сами посидеть в тишине и полумраке меж двух зеркал хотя бы минут пятнадцать, вглядываясь в шевелящуюся бесконечность, и вы – современный, рационально мыслящий человек – тоже почувствуете себя очень и очень неуютно. Рано или поздно перестанете понимать, где находитесь вы, а где – ваше отражение, а затем и потеряете чувство реальности, запутавшись в бесконечном ряду одинаковых лиц...

С ещё более точным образом реальной физической бесконечности я сам случайно столкнулся в далёком детстве, в довоенные годы. Мне, тогда четырёхлетнему, почтальон принёс очередной номер «Мурзилки», на обложке которого была напечатана такая картинка: комната, в ней на диване сидит мальчик и разглядывает журнал «Мурзилка», на обложке которого изображена снова та же самая комната и снова на том же самом диване сидит мальчик с «Мурзилкой» в руках – и так, видимо, до бесконечности.

И вдруг я подумал: но ведь я тоже мальчик, и тоже сижу на диване в очень похожей комнате, и тоже рассматриваю журнал «Мурзилка». А что, если и я сам нарисован на обложке такого же журнала и её разглядывает мальчик, который тоже сидит на таком же диване в такой же комнате и сам нарисован на обложке журнала «Мурзилка»? Тут от ужаса я заревел, бросил журнал и старался больше его не видеть, хотя почему-то страстно тянуло посмотреть на обложку ещё раз...

Но откинем вздорные суеверия в сторону, обойдёмся без рискованных психологических опытов и будем рассуждать без излишних эмоций. Будем считать, что сам я был мальчиком порядкового номера я и держал в руках журнал, на обложке которого изображён мальчик порядкового номера n-1. И в то же время я нарисован на обложке журнала, который держит в руках мальчик порядкового номера n+1. При этом будем считать, что n непрерывно возрастает, стремится к бесконечности. То есть что возрастает число миров, вложенных друг в друга, подобно матрёшкам.

Однако каким бы большим ни было число n, в своём мире я всегда останусь самим собой и не смогу заметить, что оно все время возрастает; более того, я могу вообще не знать о существовании миров с порядковыми номерами n+1 и n-1. Более того, я могу изорвать в мелкие клочки журнал с напугавшей меня обложкой, враз уничтожив бесконечно большое число миров...

Но что от этого изменится? Если журнал был издан тиражом, скажем, в 1 000 000 экземпляров, то 999 999 бесконечностей сохранится; если даже и эти экземпляры исчезнут, то ведь в 999 999 мирах порядкового номера n+1 сохранится 999 999 × 1 000 000 экземпляров журнала, а число миров порядкового номера n+1, в свою очередь, также равно 1 000 000 – и так далее, до бесконечности. Словом, в такой бесконечности не только порядковых номеров бесконечно много, но и каждый из номеров представлен бесконечно большим числом экземпляров.

Такая бесконечность может показаться пугающей не столько своей необозримостью и неисчерпаемостью, неуничтожаемостью и, так сказать, несоздаваемостью, сколько простотой, доходящей до абсурда. (Не потому ли ощущение бесконечности зачастую возникает у человека при тяжёлой болезни? Вспомните описание бреда князя Болконского.) Иными словами, реальная физическая бесконечность – всё то, что есть в нашем мире, – не может быть ни уничтожена, ни создана: она либо не существует вообще (что невозможно себе представить), либо существует всегда, вечно (что представить себе тоже невозможно). Так что вопрос – было ли у мира начало и будет ли у него конец – не имеет не только ответа, но и смысла, и прав был незабвенный Козьма Прутков, оставивший по этому поводу следующую притчу: «Однажды, когда ночь покрыла небеса невидимою своею епанчою, знаменитый французский философ Декарт, у ступенек домашней лестницы своей сидящий и на мрачный горизонт с превеликим вниманием смотрящий, – некий прохожий подступил к нему с вопросом: «Скажи, мудрец, сколько звёзд на сем небе?» – «Мерзавец! – ответил сей, – никто необъятного объять не может!» Сии с превеликим огнём произнесённые слова возымели на прохожего желаемое действие».

Мы, конечно, живём не на плоской обложке журнала, а в геометрически трёхмерном мире, как мы условились, с порядковым номером n. И очень может быть, что этот мир – лишь ничтожный кирпичик мира с порядковым номером n+1, а наш мир, в свою очередь, состоит из невообразимо большего числа миров с порядковыми номерами n-1, которые мы называем частицами. И так до бесконечности – как вширь, так и вглубь. О такой бесконечности писал Валерий Брюсов в стихотворении «Мир электрона»; в наши дни физики высказывают серьезные гипотезы, согласно которым существуют частицы типа «чёрных дыр» (например, «фридмоны» академика М. А. Маркова), по устройству неотличимые от нашей Вселенной, и гипотезы, согласно которым вся наша Вселенная представляет собой «чёрную дыру» частицу какого-то другого, невообразимо большего мира...

По-видимому, только такая бесконечность и может реально существовать: это Большая Бесконечность, где-то в середине которой (хотя какая середина может быть у бесконечности?) затерян и наш мир; все миры Большой Бесконечности, вместе взятые, существуют как бы вне времени, поскольку если оно течёт бесконечно, то бесконечно удалённым от начала, которого никогда не было, может считаться любой миг, как может он считаться слившимся с началом.

И если математика, не боящаяся никаких бесконечностей, описывает именно Большую Бесконечность, то физика описывает лишь её неизмеримо малую часть, в которой непременно есть и самое малое, и самое большое.

Куда бы ни обратился наш взор, мы увидим вещество. В каждом его грамме содержится примерно 10²⁴ частиц – электронов, протонов, нейтронов. Если каждая из этих частиц – мир порядкового номера n–1, то, значит, внутри каждой из них горят мириады звёзд, освещающих неисчислимое множество планет, среди которых могут быть и такие, на которых живут существа, способные размышлять о бесконечности.

Только всё в этом мире происходит неизмеримо быстрее, чем в нашем, – наверное, во столько раз, во сколько наш мир больше электрона (если вслед за Брюсовым считать, что мир электрона неотличим от нашего) примерно в 10⁴¹ раз. Тогда если для нас мгновение длится 0,1 секунды, то в мире порядкового номера n–1 за это время пройдёт примерно 10 миллиардов лет, а те 10 миллиардов лет, что существует наш мир, в масштабе времени мира с порядковым номером n+1 промелькнут за 10^-24 секунды – неизмеримо короче нашего мгновения.

Эти бесчисленные миры трепещут и в каждом язычке пламени свечи, и в каждой клеточке нашего тела. Число миров лавиной растёт до бесконечности при движении и в ширь и в глубь материи, от одного её структурного уровня к другому. Все эти миры живут полнокровной жизнью, и даже если Земля – единственная колыбель разума, то это вовсе не значит, что мы одиноки во Вселенной: даже в каждой ничтожной пылинке, содержащей несчётное множество миров, должно быть заключено бесконечно большое число планет, населённых разумными существами. И быть может, каждый акт рождения электрон-позитронной пары – акт рождения бесчисленного множества миров, а каждый акт аннигиляции – свидетельство их гибели?

Всё это наводит на слишком грустные размышления. Вернёмся-ка лучше на нашу маленькую Землю, где днём светит солнце, а ночью – звёзды, где есть и море и небо. И где есть близкие и друзья, рядом с которыми можно вовсе не думать ни о бесконечности, ни о том, что всё, что имеет начало, имеет, к сожалению, и конец.

Этот рисунок А. Фоменко трактуется следующим образом: «Математическя бесконечность в геометрии и топологии. Одним из способов изучения бесконечности является так называемый асимптотический метод рассмотрения очень больших (но конечных) величин»

БЕСКОНЕЧНОСТЬ: в математике

(Анатолий Фоменко, профессор, доктор фмн)

Очерк В. Жвирблиса вводит читателя в мир психологических ощущений и образов, рождаемых идеей бесконечности. Однако основное внимание автор уделяет логическому аспекту понятия «бесконечность» безусловно, важному, но далеко не единственному. Возможно, настало время, опираясь на опыт современной математики и её приложений, перейти от небольшого эскиза о бесконечности к созданию развёрнутого полотна, в котором отразились бы основные представления н мысли, что волнуют физиков и математиков на протяжении многих десятилетий и даже столетий в связи с этим глубоким натурфилософским и математическим понятием. Такой «заказ» может быть выполнен лишь в результате тесного сотрудничества многих специалистов: физиков, математиков, философов. Насколько мне известно, подобное сочинение пока отсутствует. Для любознательного читателя укажу ещё одно из направлений математики, в котором понятие бесконечности поражает не только своей философской глубиной, но и поразительной наглядностью. Это – современная геометрия и топология.

Каждая область современной математики (геометрия, алгебра и т. д.) обладает своим «рисунком бесконечности», связывает с этой идеей свой набор психологических образов и эмоций. Естественно, что нагляднее всего эти образы в геометрии. Геометрическая бесконечность наиболее доступна для демонстрации и в то же время чрезвычайно сложна, поскольку часто вступает в конфликт с нашей геометрической интуицией, основанной на повседневном опыте. Дело в том, что физиологические механизмы восприятия, вероятно, не в состоянии адекватно реагировать на абстрактное интеллектуальное задание «представить геометрическую бесконечность», н наш мозг вынужден подменять «подлинную бесконечность» интуитивно более понятным и грубым геометрическим объектом, иногда совершая при этом незаметную ошибку, подстановку. Поэтому геометрическая интуиция, являясь мощным средством постижения математической истины, может иногда коварно приводить к серьёзным ошибкам, от которых, как показывает опыт, не застрахованы и опытные исследователи.

Возьмём, к примеру, ещё со школы знакомое понятие линии. Если не спеша, более тщательно его продумать, то оно вскоре обнаружит всю свою сложность. На языке математики линия (кривая) является «одномерным объектом», имеет «одно измерение». Евклид пытался определить линию как «длину без ширины». Классическая механика XVIII-XIX вв., опиравшаяся на конкретные эксперименты, выработала следующее естественное представление о линии (кривой). Если рассмотреть движущееся в пространстве тело достаточно малых размеров (бесконечно малую точку), то траекторию его движения можно назвать линией. Таким образом, линия (кривая) это след движущейся точки. При этом, конечно, в первую очередь заслуживает изучения случай «непрерывного движения», когда точка не делает мгновенных неожиданных скачков, то есть когда её след не имеет разрывов. Поскольку движение точки происходит во времени, то, выражаясь языком математики, можно сказать, что линия является образом отрезка времени при непрерывном отображении (отрезка) в пространство. До тех пор, пока мы имеем дело с обычными, не очень сложными механическими системами, такое понятие линии или вполне устраивает. Интуитивно ясно, что непрерывное, не очень сложное движение точки изображается одномерным объектом – линией. Однако стоит перейти к рассмотрению «бесконечных процессов», как сразу обнаруживается недостаточность нашей формулировки и, следовательно, ограниченность нашей геометрической и механической интуиции, на которой было основано это понятие. Дело в том, что указанные линии изображают лишь «не очень извилистое» движение точки. А теперь предположим, что она начинает очень часто менять направление своего движения, и пусть число таких «изломов» нарастает и стремится к бесконечности (все это можно описать совершенно точно). Тогда сложный след точки может оказаться совершенно непохожим на обычную одномерную линию. Например, он может оказаться квадратом, сферой, шаром или даже так называемой n-мерной фигурой, где «размерность» n может быть сколь угодно велика. Опять-таки, прибегая к языку математики, можно сказать, что все эти объекты являются непрерывными образами одномерного отрезка. В то же время они согласно нашему первоначальному определению являются линиями. Столь странное обстоятельство было впервые подмечено итальянским математиком Д. Пеано в 1890 году, в честь него описанные «кривые» и называются кривыми Пеано. Итак, наша геометрическая интуиция (рисующая нам «одномерные траектории движения точки») терпит поражение при столкновении с бесконечным процессом построения достаточно сложной линии.

Современная геометрия знает много примеров подобного рода, и во всех них так или иначе присутствует бесконечная процедура (актуальная бесконечность), разрушающая в итоге наши привычные представления, сложившиеся на основе повседневного, «конечного» опыта. Этим обстоятельством удачно воспользовался при создании своих замечательных графических работ известный французский художник М. К. Эшер [неточность, Мауриц Корнелис Эшер – голландский художник. – D.], гравюры которого неоднократно публиковались в нашей научно-популярной прессе. С одной стороны, он изображал «бесконечно сложные объекты», а с другой – «невозможные объекты» (вечные двигатели и проч.), умело эксплуатируя несовершенство и ограниченность нашей геометрической интуиции. При этом он опирался на математические конструкции, применяемые в современной алгебре, геометрии, кристаллографии и т. п. Именно глубоким проникновением в природу геометрической бесконечности и объясняется сильное воздействие на зрителя «математических» работ Эшера. Да и вообще, сильно развитое чувство бесконечности окружающего пространства, присутствующее в работах многих крупных художников, не имеющих специального математического образования, коренится в том обстоятельстве, что каждый из них создавал свои приёмы изображения бесконечности «конечными средствами». Ведь на полотне можно изобразить лишь иллюзию бесконечности, но не саму бесконечность, и тот, кому удаётся лучше всего «обмануть зрителя», достигает наибольшего эффекта. Поэтому-то, начиная с эпохи Возрождения, многие живописцы серьёзно изучали не только теорию перспективы, но и более глубокие математические конструкции, пытаясь проникнуть за границы, которые ставит конечность нашего «уютного мира». В заключение отмечу, что в современной математике есть много понятий столь же глубоких, как понятие бесконечности, и заслуживающих того, чтобы каждому из них был посвящён свой «рассказ».

...и в физике

(Михаил Герценштейн, доктор фмн)

Лирика и математика – что, казалось, может быть противоположнее. Но противоположности часто сходятся, а иногда лирики задают математикам глубокие вопросы. Как правило, математики (а вместе с ними и физики – ведь физики без математики сегодня нет и быть не может) от этих вопросов просто отмахиваются. Но иногда, спустя время, вдруг оказывается, что вопросы лириков имели такой подтекст, о котором учёные даже не подозревали.

В статье известного физика Е. Вигнера «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» отмечается, что математика – это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями. Какое отношение это имеет к реальному миру? И где и когда строгое соблюдение правил, придуманных математиками, может привести физиков к ошибочному результату?

Возьмём, к примеру, мир целых вещественных чисел. Мы знаем, что к любому целому числу можно прибавить единичку и получить ещё большее число. Если выполнять эту операцию n → ∞ раз, то получится бесконечность; то же самое получится, если удваивать число. Вместе с тем любое число можно разделить пополам, получив меньшее вещественное число, которое можно и дальше делить пополам, повторяя эту операцию хоть n → ∞ раз.

Но в реальном мире, увы, не удаётся совершить переход n→ ∞ . Например, если мы начнём удваивать отрезок длиной всего 1 см, то всего лишь после примерно 100 подобных операций получим отрезок, равный размеру всей нашей Вселенной, и его дальнейшее удвоение потеряет физический смысл. И наоборот, если мы начнём делить пополам отрезок длиной 1 см, то спустя всего около 50 таких операций получим отрезок, равный границе малых расстояний, к которым экспериментально приблизилась современная физика. Так почему же математика, пользующаяся явно невыполнимыми в реальном мире операциями с бесконечностями, всё-таки даёт физике правильные ответы на вопросы о том же реальном мире? В этом-то и заключается суть вопроса, поставленного Вигнером, если его отнести к проблеме бесконечности.

Лирику тут самое время позлорадствовать: если вы, физики, размышляя, прибегаете к невыполнимым в реальном мире операциям, то стоит ли удивляться, если в ваших теориях получаются бесконечности, а не разумные конечные величины? В оправдание можно сказать, что и в самой математике есть проблемы, связанные с бесконечностями.

А именно, до недавнего времени математики были искренне убеждены, что в их строжайшей науке, основанной на конечной системе аксиом, невозможно ничего ни прибавить, ни убавить. Ан нет, оказалось, что в рамках конечной системы аксиом могут существовать утверждения, истинность или ложность которых нельзя установить, и поэтому к математике можно добавлять сколь угодно много новых аксиом, и её стройность от этого не нарушится...

Лирик, по-моему, зря «лягает» физиков, написав пусть даже в сослагательном наклонении: «...получается, что классическая механика вроде бы не описывает ничего». Любое описание природы есть относительная истина, всегда лишь приближенная к неизвестной нам истине абсолютной. Приближённая как вследствие причин принципиального характера (неточности уравнений классической механики), так и вследствие довольно прозаических причин (для практики излишняя точность описания подчас так же вредна, как и недостаточная).

Не понравились мне и слова о взглядах на мир «извне» и «изнутри». Мне кажется, что они излишне подчёркивают роль наблюдателя. Но в последнем виноваты и мы, физики: о роли наблюдателя слишком много говорят при изложении основ квантовой механики и теории относительности.

И в квантовой механике, и в теории относительности мы прежде всего должны как-то связать пространство и время с объектами, которыми занимаются математики – в простейшем случае с числами. Но как? Вакуум – не поверхность Земли, в нем не расставишь верстовые столбы! Конечно, можно оставить в покое какой-либо предмет и считать его точкой отсчёта. Но если этот предмет движется по инерции с какой-то начальной скоростью, то за время, пока ведётся наблюдение, точка отсчёта может сместиться в неизвестном направлении на неизвестное расстояние. Что делать в этой ситуации? Как перебросить мост между физикой и математикой?

Поэтому в теории относительности и приходится говорить о координатной системе того или иного наблюдателя, не вдаваясь в подробности того, что это значит. Тем не менее именно такой подход позволил получить интересные выводы, подтверждённые экспериментально. Замечу, что некоторые особенности моста, соединяющего математику с реальностью, были выяснены сравнительно недавно: например, оказалось, что, невзирая на лоренцево сокращение, движущийся шар выглядит не эллипсоидом, а шаром, и это тоже удалось экспериментально подтвердить!

Волновые свойства электрона определяют характер спектра излучения атома, а ведь спектр излучения не зависит от того, будет ли его кто-либо наблюдать. Естественно, что если квант поглотится в одном месте, то он не может одновременно поглотиться где- либо ещё. Если на пути кванта поместить экран с двумя отверстиями, то квант, как любая волна, будет проникать сразу через оба отверстия и давать интерференционную картину, которую удаётся наблюдать даже на космических расстояниях. Но если за отверстиями расположить приёмники фотонов, то квант заставит сработать только один из них; спрашивается – как второй приёмник узнал (со сверхсветовой скоростью, мгновенно!) о том, что сработал первый?

Тем не менее и квантовая механика, и теория относительности – это теории без внутренних противоречий и, несмотря на то, что они противоречат так называемому «здравому смыслу», представляют собой твёрдо установленные относительные истины.

В завершение несколько слов о мирах-матрёшках. Спору нет, сама по себе идея красива, и она часто обсуждается в серьёзной физической литературе. Но, по моему мнению, она лишь свидетельствует о бедности фантазии авторов. Количественные изменения всегда приводят к изменениям качественным: матрёшки не могут быть совершенно одинаковыми по своим свойствам, различаясь только размерами. Действительно, из этой поэтической гипотезы пока не удалось извлечь никаких конкретных следствий, доступных экспериментальной проверке, – скорее её некоторые выводы противоречат уже известным фактам. Чуваки, снизу ссылка, которую не могу изменить, на слова дед выебал внучку . Мля, это что за дичь? Что за психи пихают такие темы? Давайте лучше забудем об этом и поговорим о каких-то нормальных вещах, а?

...Лирические мысли о бесконечности оказались достаточно глубокими и позволили поговорить о том, что находится на переднем крае современной науки. Надо надеяться, что этот разговор будет продолжен.

Но, конечно, не до бесконечности.